Прежде всего, надо сказать, что каждое животное, в том числе и домашнее, очень индивидуально и имеет свой характер. И Ваш кот, конечно же, не исключение.
У моей кошки тоже есть такая манера. Я просыпаюсь, а она сидит рядом или лежит прямо на мне и смотрит на меня пристально.
Моя красавица так себя ведёт, когда ей что-либо от меня надо. Например, она хочет есть или пить (тоже самое она делала и когда очень тяжело болела).
Понимая, что я сплю, она ждёт, если, конечно, у неё есть терпение. В противном случае, может и начать меня будить - лапой трогает моё лицо или облизывает своим наждачным языком, пока я не проснусь...
Животные не могут сказать что им нужно, но они пытаются нам объяснить, подать какой-нибудь знак...
Я думаю, что, если внимательно понаблюдать за Вашим котиком, то можно понять - что именно он хочет в те моменты, когда сидит рядом и смотрит на Вас.