Акции компаний покупаются и продаются либо на фондовой бирже, либо напрямую у эмитента (например, в своё время можно было купить/продать акции Газпрома в его представительствах). Если речь о России, то главной фондовой площадкой является ММВБ (Московская Межбанковская Валютная Биржа), где акции и облигации торгуются за рубли, раньше была ещё РТС (Российская Товарно-Сырьевая биржа), где торговля шла в долларах, но потом эти площадки объединились.
На бирже по идее можно торговать и напрямую - открыв счет и забросив туда минимальный депозит, но для частного лица издержки оказываются слишком велики (имеет смысл при оборотах в месяц от 1 млн. и выше). Поэтому для небольших операций проще прибегнуть к услугам брокеров - игроков, имеющих свой счет на бирже и выполняющих поручения клиентов по покупке и продаже акций. Брокерами могут быть как специализированные компании, так и подразделения банков.
Что касается механизма покупки-продажи акций, то это может быть как непосредственный доступ на торговую площадку ММВБ (через специализированную программу Quik) - в этом случае клиент покупает и продает ценные бумаги по актуальным биржевым котировкам в данный момент времени (актуально для спекулятивных сделок, когда одни и те же акции покупаются и продаются много раз в день). Либо брокер может выставлять некую усредненную котировку на покупку и продажу раз в сутки, закладывая туда свою маржу (например, вы можете купить акцию некой компании за 220 рублей, а продать за 200 при актуальных биржевых ценах 205-215 руб. в течение дня). Такой механизм подходит для "длинных инвестициях" (на месяцы и годы). Третья возможность - покупка пая ПИФ, по сути это корзина акций, сформированная по отраслевому принципу для уменьшения рисков. Например, вместо того, чтобы купить акцию "Роснефти", можно купить пай "Нефтянка", куда входят акции всех нефтяных компаний, торгующиеся на рынке.
