Действительно, заданное слово относится к тем, которые рекомендуется запоминать после обращения к любым орфографическим словарям.
Существительное "экзАмен", глагол "экзаменовАть (ся)" и другие однокоренные слова (экзаменАтор, экзаменациОнный, экзаменОванный) содержат иностранный корень. Этот корень есть калька латинского "examen".
Иноязычные слова, как правило, не поддаются проверке привычными нам со школьной скамьи правилами проверки. "Занеси в свой орфографический словарик и запомни". Так советуют нам учителя.
Став постарше, пытаешься вспомнить правописание того или иного слова, а словарика нет под рукой.
Что делать? Есть еще один способ, позволяющий правильно писать такие "непроверяемые" слова -- это слова-образы.
А в данном случае таких слов можно найти много, они все связаны с заданным "экзаменом".
Такими могут быть слова-образы, например: тест, проверка, оценка, ответ, сессия.
Они пишутся через "е", вот и будем писать через "е" и существительное экзамЕн.
Первую гласную "э" в этом слове легко объяснить именно его иноязычностью: в русском языке начальное "э" пишется в заимствованных словах, например: эшафот, этюд, эстетика, эссенция, эстафета и т.п..
Ну а согласную "к", вместо которой кому-то и захочется написать через "г", необходимо запомнить.
Хотя это довольно редкий случай. Экзамены приходится сдавать часто -- и в школе, и в вузе, и даже на работе.
А на экзамене следует отвечать толково, уверенно, а не "эКать".