Question

Очень важный вопрос по нынешним временам! Как решать задачи с кредитами?

Например, такую:

Геннадий взял кредит в банке. По договору Геннадий должен вернуть кредит ежемесячными платежами.

В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется 3% от этой суммы, и своим ежемесячным платежом Геннадий погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.

Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц.

На сколько процентов выплаченная сумма превысит сумму выданного кредита, если кредит был взят на 11 месяцев?

Ответ: на 18%. Как это решить?

Answer 1

Версия 1

Аннуитетная выплата. Пусть у нас X - ежемесячный платеж равными долями, Y - сумма кредита, n - месячная ставка по кредиту (в долях 1), N - число месяцев. Формула аннутитенного кредитования имеет вид

X = Y n/[1-(1+n)^(-N)]

В нашем случае X = Y 0,03/[1-1,03^(-11)]

Нам нужно узнать отношение NX/Y = [11x0,03]/[1-1,03^(-­<wbr />11)].

Инженерный калькулятор выдал 18,88%.

Версия 2

Внимательнее прочитал условия, и пришел к выводу, что это не вполне аннуитетный платеж (хотя и близкий к нему). Ежемесячная плата состоит из выплаты тела кредита равными долями и процентов на остаток. Тело кредита делится на число месяцев (11), так получается ежемесячная доля к оплате (далее - "Доля"). Первый месяц процент начисляется на остаток 11 Долей, во второй - 10 Долей и т.д. вплоть до 1 Доли в момент погашения кредита. Имеем уменьшающуюся арифметическую прогрессию, сумма которой равна 66 Долям, или 6 размерам тела кредита. Далее умножаем 6 на месячную процентную ставку (3%) и получаем суммарную переплату 18%.

Answer 2

Обозначим: х - та сумма, на которую нужно ежемесячно уменьшать тело кредита, n - длительность кредита в месяцах (у Вас задано 11 месяцев), к - ежемесячная плата за "сумму долга" (у Вас задано 3 %. Выразим её не в %, а в долях).

Значит вначале было заимствовано х*n рублей.

В конце первого месяца набегает х*n*к рублей.

Заёмщик в конце первого месяца выплачивает эти х*n*к рублей и ещё х рублей.

На второй месяц остаётся долг (х*n-х) рублей. Нас них начисляется (х*n-х)*к рублей. Заёмщик выплачивает их и ещё х рублей.

В итоге за n месяцев заемщик выплатит само тело кредита (х*n) рублей и плату за кредит:

в первый месяц (х*n)к*, во второй - (х*n-х)*к, в третий (х*n-2*х)*к и т.д.

Эти выплаты составляют арифметическую прогрессию (убывающую) с разностью х*к рублей.

Сумма этой прогрессии S=(х*n)к*+(х*n-х)*к+SHY*к+... +(х*n-(n-1)*x)*к=к*х­<wbr />*(n+(n-1)+... 1)=

=к*х*(n*(n+1)/2)).

Отношение оплаты за кредит к величине кредита составляет к*х*(n*(n+1)/2))/(х*­<wbr />n)=к*(n+1)/2.

При заданных Вами величинах n и к это составит 0,18 (или 18 %).

Таким образом, результат зависит только от срока, на который взят кредит и от величины ежемесячно начисляемых процентов, и не зависит от суммы кредита.

Answer 3

Пусть х – кредит, у – услуги по кредиту, х/11 месячная доля оплаты кредита.

За первый месяц у1 = х*0,03*(11/11).

За второй месяц у2 = х*0,03*(10/11).

………………………………………………

За двенадцатый месяц у12 = х*0,03*(1/11).

Тогда

у = х*0,03*( 11+ 10 +…+1)/11 = х*0,03*(12*11/2)/11 = х*0,03*6 = 0,18