Возможно мой ответ уже слишком поздно, но может на будущее что-то поможет.
По поводу фондов и благотворительных организаций: канал "Радость моя" рассказывает очень много о них в проекте "Разыскиваются добрые люди":
http://www.radostmoya.ru/project/razyskivautsya_dobrye_ludi/video/
Надо только посмотреть архив видео, поискать; там у них были передачи и в том числе и о домах, в которых живут одинокие матери или матери, оказавшиеся в трудной жизненной ситуации; а также и гости (матери с детьми, которые приезжают из каких-то дальних областей России, например, как и в вашей ситуации, для лечения. Вот передача о таком "Мамином домике" в г.Киржач Владимирской области:
http://www.radostmoya.ru/project/razyskivautsya_dobrye_ludi/video/?watch=mamin_<wbr />domik
Может быть какие-то московские православные монастыри могут "приютить" на время.
Есть несколько бюджетных вариантов:
- Хостелы. Минусы - шумно, много молодежи, может не повезли с "соседями", иногда не пускают с детьми, минимум удобств (общие душ, туалет, кухня). Плюсы - много вариантов в самом центре Москвы, недорого, может повезти с хорошей компанией.
- Бюджетные гостиницы. Например, в Измайлово. Минусы - далеко, шумно, грязно, небезопасно, очень низкий уровень сервиса. Плюсы - дешево.
- Паломнические гостиницы. При храмах, синагоге и т.п. Плюсы - вам там рады, там все свои, высокий уровень сервиса и безопасности. Минус - только для своих, только по приглашению.
- Профессиональные гостиницы и гостевые дома (например, гостиница МГУ). Минус тот же - не попадете без приглашения, предварительного бронирования или пропуска. Плюсы - все, какие можно себе представить. По ценам сравнимо с монастырскими гостиницами и хостелами.
- Снять квартиру(комнату, койку в общежитии). Это рискованный вариант. Чем выше уровень сервиса и безопасности, тем выше цена. Если не волнует качество сервиса и безопасности, можно найти вариант дешевле, чем в хостелах.
Есть еще вариант переночевать на вокзале. Это совсем бесплатно.
А можно и так сделать, как сделали недавно одни мои знакомые молодые люди - приехали в Москву дневным поездом и всю ночь гуляли, отдыхая в ночных клубах, кафе и кинотеатрах. Совсем не спали.
Есть множество вариантов где можно поселится в недорогом хостеле в Москве и за не большую стоимость получить комфортные условия и уютное проживание, одним из самых известных не дорогих хостелов является хостел под названием "Майский Хостел" снять его можно в он лайн режиме, позвонив по номеру +7 (495) 540-48-63.
Многомебели - дешевый магазин. Но долгая доставка. Ждали диван долго, но за угловой диван в половину комнаты отдать 12 тысяч,это отлично ) Стоит уже давно. Многомеб,тоже неплохой магазин. Столплит ,мебельру.
Когда еще ездил, иногда покупая путевки, выбирал портал tury.ru (Альянс "Туры.РУ") и его аффилированные точки реализации. Получалось довольно дешево.
Современный порядок цен приведен на их сайте, где есть агреггированная поисковая система, приближенная к той, который пользуются турагенства у туроператоров.