Посмотрел я Ваши тэги и не пришел к однозначному выводу - кому надо посетить? Вам? Любому россиянину или иностранцу?
Все зависит от общего уровня развития, от интересов, увлечений, любознательности, да мало ли чего?
Есть много городов, входящих в разные "маршруты", "кольца" и т.п.
Если человек интересуется именно историей России, исторической архитектурой, церковным зодчеством, то желательно посетить города "Золотого кольца"
Проедьте по городам "Серебряного кольца"
Много интересных мест на юге России, в Крыму, на Северном Кавказе.
Добавьте и уральско-сибирский регион - Большое кольцо Урала
Нижний Новгород, Казань, Волгоград - про эти города я не говорю только потому, что и так ответ слишком пестрит названиями.
А вообще-то Ваш вопрос подразумевает какую-то "обязаловку" - стоит посетить и точка. Каждый может сам выбрать из многообразия российских городов и поселков то, что ему по вкусу.