Правильно: я катаюсь на машине.
Это обычная общелитературная форма, нейтральный стиль. Я катаю на машине - сленговое выражение, относится к ненормативной лексике.
Из словаря: Катай(те), в зн. частицы. Разг.-сниж. Употр. в значении побуждения к действию; давай(те), делай(те).
Слово "катай" в значении побуждения к действию встречается в речи давно (много примеров из 19 века), при этом действия могут быть самые разнообразные, например: катай (бей) их! В том числе это может быть побуждением к движению: отработал - и катай (= поезжай, кати) хоть на полюс. Известное выражение: катай (= иди) отсюда.
Отсюда и возникло сленговое выражение "я катаю" вместо "я катаюсь".
Относиться к сленгу лучше спокойно, это тоже часть языка, где постоянно происходит образование "новых" слов. Жизнь их обычно недолговечна, но как языковое явление сленг может быть интересен образностью и разнообразием грамматических форм. Своей "творческой" стороной он в какой-то мере напоминает детскую речь.