Об этом можно целые книги выпускать. Если кратко то, его работы - бесценный вклад в мировую науку. По мнению советских исследователей Омар Хайям первым в истории математики предложил общий прием извлечения корней n-й степени из чисел, основанный на знании формулы n-й степени двучлена. В своем втором трактате Омар приводит классификацию из 25 видов линейных, квадратных и кубических уравнений, причем указывает, что 11 из них могут быть решены при помощи 2-й книги «Начал» Евклида, а остальные 14 только при помощи конических сечений или специальных инструментов.
Самой важной работой Омара Хайяма были «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида». Третья книга «Комментариев» посвящена проблеме составления отношений, недостаточно развитых у Евклида. Омар здесь отходит от концепции о числе Аристотеля. Признавая, что число само по себе – натуральное число, собрание единиц, он предлагает ввести более абстрактное понятие о числе как о действительном положительном числе.
Хайям впервые высказал мысль о том, что уравнения третьей степени не решаются с помощью «свойств круга» (т.е. с помощью циркуля и линейки), он подчеркивал, что их можно решить только с привлечением конических сечений.
Хайям дал полную классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни. Он выделил 19 классов; из них 5 сводятся к линейным и квадратным. Для остальных 14 классов он указал метод решения с помощью конических сечений – параболы, равносторонней гиперболы, окружности.
Трактат «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида». Стремясь доказать 5 постулат Евклида, Хайям сформулировал принцип, на котором основано его доказательство: «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно чтобы прямые расходились в направлении схождения».
Кроме того, в трактате рассматривается четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Ученый исследовал величину двух других углов четырехугольника. Используя свой принцип, Омар Хайям опроверг гипотезу острого и тупого углов, а затем доказал 5 постулат.
