Сначала хорошенько подумайте, может это просто временные трудности и вы справитесь, ведь кошка или собака - это член вашей семьи, ваш ребенок. И если вы его отдадите, долго ещё будете вспоминать, а если он погибнет в другой семье, так и винить себя потом всю жизнь.
Ну, а если все уже решено, так порасспрашивайте всех родных и знакомых, ведь нельзя просто отдать, вы должны приучить кошку к новым хозяевам, первый раз "сходить с ней в гости". Посмотреть как она будет себя вести с ними.
У меня знакомая уезжала из города и кота соседям оставила. Он у них два месяца ничего не ел и так и умер, видно сильно тосковал по детям.
Ещё в интернете можно поискать возможность кошку приютить, особенно если красивая, породистая или мышей ловит. Но тут нужно сделать хорошие фото и подробно описать характер вашей кошки и её привычки, чтобы человек понял, что она ему подходит.
А уж приют я и не рассматриваю, это все равно что на смерть. У меня соседка туда сходила, саму потом валерьянкой пришлось отпаивать.