Можно ответить на вопрос "Почему на Благовещение нельзя шить?" с разных сторон. И каждый ответ будет по своему правильным.
Во-первых, в любой христианский праздник не рекомендуется делать никаких работ, которые можно отложить на другой день - стирка, краска, шитье... Это знак уважения, почтения к Богу. Рекомендуется в такой день посетить Богослужение, больше размышлять о духовных истинах.
Во-вторых, и это конкретнее по Вашему вопросу, христианство в различных поверьях тесно связано с язычеством. Возьмем именно шитье на Благовещение. Оказывается, нитка - это для многих символ жизни, и по поверью, если шьешь, то вроде как жизнь запутаешь - это настоящая примета, никак не связана с христианством.
Лично я стараюсь не шить на Благовещение только по причине почтения к Богу.