День Святого Духа, или просторечное "Духов День" завершает праздник посвященный Святой Троице и относится непосредственно к нему. Празднование Троице начинается на 50 день от Пасхи, поэтому в богослужебных книгах еще именуется Пятидесятницей.
На т.н. Двунадесятые праздники Св. Церковью принято выделять периоды "предпразднства" и "попразднства". Это время предполагается для должной подготовки к празднику, достойной встрече праздника, и (всякий раз более или менее длительное) продолжение и проводы праздника. Духов день приходится на период попразднства Пятидесятницы - т.е., собственно говоря, продолжает этот праздник. Празднуется он всегда в Понедельник сразу после воскресного дня, на который пришлось празднование Троицына дня.
Сама служба мало чем отличается от той, что служилась накануне. С небольшими дополнениями по Празднику. В празднуемом событии этого понедельника молитвенно вспоминается тот самый день, когда на Апостолов сошел обещанный Иисусом Христом Святой Дух - в виде огненных языков, как на иконе в данном в вопросе примере. Явился тем самым и обещанный Спасителем для Апостолов Утешитель, подтвердив к тому же Триединство Бога.
И вновь мне придется упомянуть двунадесятые праздники, в связи с тем, что в православной церкви есть традиция - на следующий день от основного Праздника, чтить тех, кто имеет к этому празднику какое то отношение. Так например Рождество Христово - на следующий день - Собор Пресвятой Богородицы - день, когда особо чтится Божья Матерь и ее родственники - главным образом, родители. Это важное дополнение касается и других великих праздников. Например, в следующие дни от праздников Предтечевых - почитаем его родителей. А 10 августа - сразу за праздником Пантелеймона Целителя почитается его мать - христианка Еввула.
У Двунадесятых праздников в отличие от "Великих" период продолжения еще длиннее. Так вот, поскольку к Двунадесятому празднику Св. Троицы имеет отношение Св.Дух, как третья ипостась Божья, то и празднуется День Святого Духа.
Считается, что именно этот день - "день рождения Церкви Христовой", поскольку тогда состоялось рождение церкви, в едином духе - в том виде, в каком Христос-Господь ее задумывал.
В 2017 году этот праздник приходится на 23 мая / 5 июня нов. стиля. В Католичестве тоже праздник этот имеется, но празднуется по Григорианскому Календарю.
Поскольку эти праздники отсчитываются (зависят) от дня Пасхи Христовой, то и случаются каждый год в разные дни и называются "переходящими"
Еще в народе говорят "зеленые святки" "земля в этот день именинница" - храмы украшаются зелеными, в нашем случае в России березовыми ветвями и свежескошенным сеном, одежды священников тоже зеленые, а землю уже обычно с этого дня без необходимости не пропалывают, не беспокоят, не трогают ни лопатой, ни сохой ни плугом - большие весенние посевные дела к этому времени уже как правило закончились.