Имя существительное из вопроса отличается большим количеством орфограмм:
- безударные гласные, проверяемые ударением -е- и -я- ( однокоренные проверочные слова девять и девятка;
- в сочетании согласных -тн- не ставится мягкий знак, как и в имени числительном девятнадцать;
- соединительной гласной является буква -и- ( сложное слово, в состав которого входит числительное девятнацать и вторая основа -летие ).
Правильно пишется **девятнадцатилетие*<wbr />*.
Это имя существительное второго склонения, среднего рода, неодушевленное. Такие существительные на -ие выделяются в отдельную группу, так как в форме единственного числа предложного падежа имеют окончание -и, а не -е, как остальные существительные второго склонения.
Изменим существительное девятнадцатилетие по падежам и числам ( просклоняем ):
Именительный падеж ( что? ): девятнадцатилетие, девятнадцатилетия,
Винительный ( что? ): девятнадцатилетие, девятнадцатилетия,
Родительный ( чего? ): девятнадцатилетия, девятнадцатилетий,
Дательный ( чему? ): девятнадцатилетию, девятнадцатилетиям,
Творительный ( чем? ): девятнадцатилетием, девятнадцатилетиями,
Предложный ( о чем? ): девятнадцатилети**и*<wbr />*, девятнадцатилетиях.