Они, там совсем обалдели? (Извините за выражение).
Если Вас отказываются прикреплять к поликлинике по причине того, что "там нет мест", то это звучит настолько абсурдно что у меня просто нет слов.
Как известно, у нас страховая медицина, которая, предполагает, что деньги (финансирование) лечебного учреждения, идут за пациентом. То есть, чем больше пациентов, обращающихся в поликлинику, тем больше финансирование.
Вам не имеют права отказать в прикреплении к поликлинике по месту жительства. Невзирая на какое то там "отсутствие мест".
Поликлиника - это не стационар, где действительно, может не быть свободным коек, да и то, в экстренных случаях, выходят из положения.
В общем, идите ещё раз в поликлинику по месту жительства, настаивайте на прикреплении. Если откажут, то требуйте от них отказ в письменной форме. На этом письменном отказе должна расписаться заведующая поликлиникой. С этим отказом, идите в городской департамент здравоохранения или к главному врачу данной медицинской организации. Не к заведующей поликлиникой, а к вышестоящему начальству.
У нас например в городе, таковым является главный врач ЦРБ.