Потому что так получается при интегрировании вращающейся полуокружности.
Сфера получается, если полуокружность обернуть вокруг её диаметра на 2пи радиан. Соответственно площадь сферы можно представить как сумму площадей "полосочек", описываемых каждой точкой (точнее, каждым бесконечно малым кксочком) этой полуокружности. По какому радиусу вращается каждая такая точка - известно. Какая поэтому будет длина описываемой её окружности и, стало быть, площадь соответствующей полоски - тоже не штука сосчитать.
И вот если аккуратно провести такое интегрирование, то и получится значение, вчетверо превышающее площадь центрального сечения сферы.
Можно и по-другому. Можно представить шар, заключённый в этой сфере, как "сумму" множества элементарных пирамид с общей вершиной, находящейся в центре сферы (совпадающей, ясное дело, с центром шара). У всех этих пирамид будет одна и та же высота, практически равная радиусу сферы и тем ближе к нему, чем меньше площадь основания каждой такой пирамидки. Объём каждой пирамидки равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. Соверщенно очевидно, что объём всех пирамидок, то есть объем шара, будет равен суммарной площади оснований пирамидок, то есть площади сферы, на одинаковую для всех высоту. В итоге получаем, что объём шара равен 1/3 произведения радиуса сферы на площадь поверхности сферы. Поскольку объём шара равен 4/3 пиR³ (это доказывается независимо - например, через теорему Ньютона-Симпсона, которую нам давали в обычной средней школе), то отсюда враз выползает, что площадь сферы равна 4пиR². Да и вообще поверхность тела вращения равна производной от объёма по радиусу - тупо продифференцируйте формулу объёма шара...