Герой нашешо времени. Как видим, вопросы о Печорине до сих пор живы, актуальны и востребованны. Всё-таки сильны были классики, знали о чём писали.
Выражу в своём ответе исключительно собственную точку зрения, возможно, далёкую от истины, но, тем не менее, имющую право быть, как мне кажется.
Всё дело в вырождении дворянства как правящего класса и вообще.
Причём тема эта, как мне кажется, отражена во всей литературе 19-го века в России.
Чацкий правил не приемлет, Онегин откровенно презирает (причём убивает друга и топчет любовь), Печорин вообще не находит себе места, крайне эгоистичен и откровенно "коллекционирует" женщин ради забавы, очень часто просто ломает их жизни.
В этот ряд можно поставить и Обломова, и Кирсановых, и персонажнй Чехова, и так далее и тому подобное.
Дворянство погрязло в праздности, дворянство жило за счёт крепостных и других, более низких по статусу слоёв населения.
Отсюда и эгоизм, и жестокость, и равнодушие к судьбам других людей, и, в общем-то, ко всему окружающему.
Печорин явный представтель молодого покпления дворянства, впитавший в себя чувство превосходства над другими ещё с пелёнок.
Печорин не сможет "сойтись" ни с какой женщиной в силу своего цинизма, эгоизма и неумения любить, и, как следствие, просто невозможности кого-либо полюбить по настоящему.
Так что мой ответ на вопрос.Нет, ни с какой не смог бы Печорин построить отношения.