Question

Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости: f(x)=ln⁡(6+x-x^2) .

Answer 1

$f(x)=ln(6+x-x^2)\\\\f(x)=ln(-(x^2-x-6))=ln(-(x+2)(x-3))=ln((x+2)(3-x))=\\\\=ln(x+2)+ln(3-x)=ln\left (2(1+\frac{x}{2})\cdot 3(1-\frac{x}{3})\right )=\\\\=ln\left (6\cdot (1+ \frac{x}{2})(1-\frac{x}{3})\right )=ln6+ln(1+\frac{x}{2})+ln(1- \frac{x}{3}) \\\\\star \; \; ln(1+x)=x- \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n} +...\; \; \; x\in [-1,1)\star \\\\ln(1+ \frac{x}{2} )= \frac{x}{2}-\frac{x^2}{2^2\cdot 2}+\frac{x^3}{2^3\cdot 3}-...+(-1)^{n}\cdot \frac{x^{n}}{2^{n}\cdot n}+...$

$\frac{x}{2} \in [-1,1)\; \; \to \; \; x\in [-2,2)\\\\ln(1-\frac{x}{3})=- \frac{x}{3}-\frac{x^2}{3^2\cdot 2}-\frac{x^3}{3^3\cdot 3}-...-\frac{x^{n}}{3^{n}\cdot n} -...\\\\-\frac{x}{3}\in [-1,1)\; \; \to \; \; x\in [-3,3)\\\\f(x)=ln6+\sum\limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}}\frac{x^{n}}{2^{n}\cdot n} -\sum\limits _{n=1}^{\infty }}\frac{x^{n}}{3^{n}\cdot n} =\\\\=ln6+\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n}}{{n}}\cdot (\frac{(-1)^{n}}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} )=$

$=ln6+\sum\limits _{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n}\cdot \frac{(-1)^{n}\cdot 3^{n}-2^{n}}{6^{n}}\; ,\; \; x\in [-2,2)\cap[-3,3)=[-2,2)$