Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=0,5x^2-4x+10; y=x+2

Answer 1

Находим границы фигуры:
0,5x² - 4x + 10 = x + 2,
0,5x² - 5x + 8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-5)^2-4*0.5*8=25-4*0.5*8=25-2*8=25-16=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-5))/(2*0.5)=(3-(-5))/(2*0.5)=(3+5)/(2*0.5)=8/(2*0.5)=8;x₂=(-√9-(-5))/(2*0.5)=(-3-(-5))/(2*0.5)=(-3+5)/(2*0.5)=2/(2*0.5)=2.
Так как прямая у = х + 2 проходит выше параболы у = 0,5x² - 4x + 10 на найденном промежутке, то площадь равна интегралу:
$S= \int\limits^8_2 {(x+2-(0.5 x^{2} -4x+10))} \, dx = \int\limits^8_2 {(-0.5x^2+5x-8)} \, dx = \frac{-0.5x^3}{3}$$+ \frac{5x^2}{2}-8x|_2^8= \frac{-0.5*512}{3}+ \frac{5*64}{2}-8*8-( \frac{-0.5*8}{3}+ \frac{5*4}{2}-8*2)=$$= \frac{64-(-44)}{6}= \frac{108}{6}=18.$