Question

Дам 100 баллов решить с объяснением,система на фото

Answer 1

Одз:
$x+ \frac{2}{y} \geq 0 \\2y+ \frac{4}{x} \geq 0 \\x \neq 0 \\y \neq 0$
так как x≠0 и y≠0, делим 2 уравнение на xy
$\frac{x^2+4}{x} + \frac{2(y^2+1)}{y}=8 \\ \frac{x^2}{x} + \frac{4}{x} + \frac{2y^2}{y} + \frac{2}{y} =8 \\x+ \frac{4}{x}+2y+ \frac{2}{y} =8 \\(x+\frac{2}{y} )+(2y+\frac{4}{x})=8$
теперь можно сделать замену:
$\sqrt{x+\frac{2}{y} }=t \\\sqrt{2y+\frac{4}{x}}=u$
при этом не забываем: t>=0 и u>=0
получим:
$\left \{ {{t+u=4} \atop {t^2+u^2=8}} \right.$
решим эту систему:
$t=4-u \\(4-u)^2+u^2=8 \\u^2-8u+16+u^2-8=0 \\2u^2-8u+8=0 \\u^2-4u+4=0 \\(u-2)^2=0 \\u-2=0 \\u=2 \\t=4-2=2$
теперь сделаем обратную замену:
$\sqrt{x+\frac{2}{y} }=2 \\x+\frac{2}{y}=4 \\\sqrt{2y+\frac{4}{x}}=2 \\2y+\frac{4}{x}=4$
получим систему:
$\left \{ {{x+\frac{2}{y}=4} \atop {2y+\frac{4}{x}=4}} \right.$
решим ее:
$\left \{ {{xy+2=4y} \atop {2xy+4=4x}} \right. \\4y-xy=2 \\y(4-x)=2 \\y =\frac{2}{4-x} \\2x*\frac{2}{4-x} +4=4x \\4x+4(4-x)=4x(4-x) \\x+4-x=4x-x^2 \\x^2-4x+4=0 \\(x-2)^2=0 \\x-2=0 \\x=2 \\y= \frac{2}{4-2} =1$
корни подходят по одз.
Ответ: (2;1)

Answer 2

Решение на листочке в приложении