4.24.
![y'' +9y = 9x^4 + 12x^2 -27](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27+%2B9y+%3D+9x%5E4+%2B+12x%5E2+-27)
Имеем линейное неоднородное уравнение второго порядка.
Решаем сначала однородное уравнение:
![y'' +9y = 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27+%2B9y+%3D+0)
.
Как обычно, составляем характеристическое уравнение и решаем его.
![\lambda^2 + 9 = 0 \\ \\ \lambda = \pm 3i](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clambda%5E2+%2B+9+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+%5Clambda+%3D+%5Cpm+3i+)
Характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корня:
![\lambda_1 = 0 + 3 i \\ \lambda_2 = 0 - 3 i](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clambda_1+%3D+0+%2B+3+i+%5C%5C+%5Clambda_2+%3D+0+-+3+i)
Поэтому общее решение:
![y = e^{ \alpha x}(C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x)](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+e%5E%7B+%5Calpha+x%7D%28C_1+cos+%5Cbeta+x+%2B+C_2+sin++%5Cbeta+x%29)
упрощается, т.к. у нас:
![\alpha =0; \: \beta =3](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Calpha+%3D0%3B++%5C%3A+++%5Cbeta+%3D3)
И будет иметь вид:
![y = C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+C_1+cos+%5Cbeta+x+%2B+C_2+sin+%5Cbeta+x)
Подставляем своё значение:
![y = C_1 cos 3x + C_2 sin 3x](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+C_1+cos+3x+%2B+C_2+sin+3x)
Теперь надо найти частное решение. Т.к. в правой части у нас многочлен 4-й степени, то решение и ищем в таком виде:
![\widetilde{y} = Ax^4 +Bx^3 +Cx^2 +Dx + E](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cwidetilde%7By%7D+%3D+Ax%5E4+%2BBx%5E3+%2BCx%5E2+%2BDx+%2B+E+)
Найдём вторую производную, а затем её и саму функции подставим в исходное уравнение:
![\widetilde{y'} = 4Ax^3 +3Bx^2 +2Cx + D \\ \\ \widetilde{y''} = 12Ax^2 +6Bx +2C \\ \\ 12Ax^2 +6Bx +2C + 9(Ax^4 +Bx^3 +Cx^2 +Dx + E) = \\ \\ = 9x^4 + 12x^2 - 27](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cwidetilde%7By%27%7D+%3D++4Ax%5E3+%2B3Bx%5E2+%2B2Cx+%2B+D+%5C%5C++%5C%5C+%5Cwidetilde%7By%27%27%7D+%3D++12Ax%5E2+%2B6Bx+%2B2C++%5C%5C++%5C%5C+12Ax%5E2+%2B6Bx+%2B2C+%2B+9%28Ax%5E4+%2BBx%5E3+%2BCx%5E2+%2BDx+%2B+E%29+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D++9x%5E4+%2B+12x%5E2+-+27+)
![9Ax^4 +9Bx^3+ (12A+9C)x^2 +(6B+9D)x +(2C + 9E) = \\ \\ = 9x^4 + 12x^2 - 27 \\ \\ A=1; \: B=0; \: 12A + 9C = 12; \: 6B + 9D =0; \: 2C + 9E = -27 \\ \\ 12*1 +9C = 12 \Rightarrow C = 0 \\ \\ 6*0 +9D = 0 \Rightarrow D = 0 \\ \\ 2*0 + 9E = -27 \Rightarrow E = -3 \\ \\ \widetilde{y} = 1*x^4 +0*x^3 +0*x^2 +0*x - 3 \\ \\ \widetilde{y} =x^4 - 3](https://tex.z-dn.net/?f=9Ax%5E4+%2B9Bx%5E3%2B+%2812A%2B9C%29x%5E2+%2B%286B%2B9D%29x+%2B%282C+%2B+9E%29+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D++9x%5E4+%2B+12x%5E2+-+27+%5C%5C++%5C%5C+A%3D1%3B+%5C%3A+B%3D0%3B+%5C%3A+12A+%2B+9C+%3D+12%3B+%5C%3A+6B+%2B+9D+%3D0%3B+%5C%3A+2C+%2B+9E+%3D+-27+%5C%5C++%5C%5C+12%2A1+%2B9C+%3D+12+%5CRightarrow+C+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+6%2A0+%2B9D+%3D+0+%5CRightarrow+D+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+2%2A0+%2B+9E+%3D+-27+%5CRightarrow+E+%3D+-3+%5C%5C++%5C%5C+%5Cwidetilde%7By%7D+%3D+1%2Ax%5E4+%2B0%2Ax%5E3+%2B0%2Ax%5E2+%2B0%2Ax+-+3+%5C%5C++%5C%5C+%5Cwidetilde%7By%7D+%3Dx%5E4+-+3+)
Объединяем решения:
![y = y + \widetilde{y} \\ \\ y = C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x + x^4 - 3](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+y+%2B+%5Cwidetilde%7By%7D+%5C%5C++%5C%5C+y+%3D+C_1+cos+%5Cbeta+x+%2B+C_2+sin+%5Cbeta+x+%2B+x%5E4+-+3)