Question

Пусть x,y,z – натуральные числа. Известно, что произведение xyz=8847360. На какую максимальную степень двойки может делиться x^2+y^2+z^2?

Answer 1

Заметим, что 8847360 = 2¹⁶*3³*5. Для того, чтобы выражение x² + y² + z² делилось на максимальную степень двойки, эта степень должна выноситься за скобки, т. е. x² + y² + z² = 2ⁿ(a² + b² + c²). Покажем, что выражение a² + b² + c² не делится на степень двойки выше первой. Квадрат натурального числа может давать при делении на 4 остатки либо 0, либо 1. Учитывая, что одно из чисел заведомо на 4 не делится, получаем, что все выражение a² + b² + c² не кратно 4, т. е. делится максимум на 2. Значит выражение x² + y² + z² будет делиться на максимальную степень двойки, если вынести максимальную степень двойки за скобки и при этом, если выражение a² + b² + c² будет делиться на 2. Для этого распределим степени двойки равномерно между x, y и z. Если присвоить двум из этих чисел пятую степень двойки, а одному числу шестую, то получим x*y*z = 2⁵*2⁵*2⁶=2¹⁶. Тогда двум числам из x², y² и z² присвоится 2¹⁰, а одному числу 2¹². Следовательно x² + y² + z² будет делиться на 2¹¹, т. е. на максимальную степень двойки, равную 11.

Ответ: На одиннадцатую степень.