Дано: треугольная правильная пирамида с ребром основания 4√2.
Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
Середина ребра BC - точка Д, <span>середина ребра AB - точка Е.
</span><span>
Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат вершиной А в начало и ребром АС по оси Оу.
Определяем координаты исходных точек.
S(0; 4</span>√2; 2), Д(√6; 3√2; 0).
С(0; 4√2; 0), Е(√6; √2; 0).
Вектор SД: ( √6; -√2; -2), |SД| = √(6+2+4) = √12= 2√3.
Вектор СЕ: (√6; -3√2; 0). |CE| = √(6+18+0) = √24 = 2√6.
cos∠(SД;CE) = (SД*CE)/(|SД|*|CE|) = (6+6-0)/(2√3*2√6) = 12/(4*3√2) = 1/√2).
Угол (SД;CE) = arc cos (1/√2) = 45 градусов.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми SД и CE<span>.
Так как прямая </span>SД лежит в плоскости, перпендикулярной основанию, в котором лежит прямая СЕ, то искомое расстояние равно длине перпендикуляра из точки Д на прямую СЕ.
Рассмотрим треугольник СДЕ.
СД = ДЕ = (4√2)/2 = 2√2.
СЕ = √((3√2)² + (√6)²) = √(18+6) = √24 = 2√6.
По формуле Герона находим площадь СДЕ:
<span><span /><span><span> a b c p
2p S
</span><span>
2,828427 4,89898
2,8281 5,277917
10,555834 3,464102.
Высота из точки Д (это искомое расстояние </span></span></span>SД;CE)<span> равна
</span><span><span /><span><span>ДН =</span>
2S/СЕ
= </span></span>√2 ≈1,414214.
Сверху 51 выносим за скобку получаем 51(3-1). Снизу выносим за скобку 17 получаем 17(8+1). 51и 17 сокращаем остаётся 3.
3×(3-1)/(8+1)= 6/9= 2/3