Question

Найти экстремумы функции F(x,y)=-2x+3y+5 при условии x^2+2xy+2y^2-29=0

Answer 1

Решение прицеплено в картинке

Answer 2

1. составим ф-ю Лагранжа F(x,y,λ)=-2x+3y+5+λ(x^2+2xy+2y^2-29)
2. найдем частные производные F'x=-2+2λx+2λy
F'y=3+2xλ+4yλ  F'λ=x^2+2xy+2y^2-29
3. составим систему 3-х уравнений
-2+2λx+2λy=0
 3+2xλ+4yλ=0
  x^2+2xy+2y^2=29
            2λy=-5   3+2xλ=10   xλ=3,5
            x=7/2λ      y=-5/2λ   49/4λ²-70/4λ² +50/4λ²=29
1/4λ²=t   49t-70t+50t=29   29t=29   t=1  4λ²=1   λ1=0.5   λ2=-0.5
λ=0.5  x=7 y=-5
λ=-0.5  x=-7 y=5  критические точки найдены.
4. m1(7;-5)  λ=0.5  найдем G'x=2x+2y=2*7-2*5=4   G'y=2x+4y=14-20=-6
ранее нашли F'x=-2+2λx+2λy   F'y=3+2xλ+4yλ
F''x²=2λ=1  F''y²=4λ=2  F''xy=2λ=1
определитель
0   4    -6
4    1     1 
-6   1     2     Δ=-116<0 → в точке m1(7;-5) условный минимум
z=-2x+3y+5=-2*7-3*5+5=-14-15+5=-24
------------
m2 (-7;5)  λ=-0.5  G'x=2x+2y=-14+10=-4  G'y=2x+4y=-14+20=6
F''x²=2λ=-1  F''y²=4λ=-2   F''xy=2λ=-1
определитель
0   -4    6
-4  -1   -1 
6   -1     -2     Δ=116>0   условный максимум z=-2x+3y+5=14+15+5=34