Первое трёхзначное число, кратное числу 12 равно 108, а последнее равно 996. Выясним количество таких чисел с помощью арифметической прогрессии.
а(1)=108, а(n)=996, d=12
a(n)=a(1)+d(n-1)
108+12(n-1)=996
12(n-1)=996-108
12(n-1)=888
n-1=74
n=75
Теперь находим сумму этих 75-ти чисел:
S(n)=(a(1)+a(n))*n/2
S(75)=(108+996)*75/2=1104*75/2=41400
Ответ: 41400
Берем 1 и 2 производные:
y'=4x^3-4(3x^2)-18(2x)+1=4x^3-12x^2-36x+1;
y''=4(3x^2)-12(2x)-36=12x^2-24x-36;
ищем выпкулость/вогнутость:
12x^2-24x-36=0;
x^2-2x-3=0;
D=16; x1=3; x2=-1;
теперь методом интервалов ищем:
выпукла: [-1;3]
вогнута: (-беск;-1] и [3;+беск)
Вот...
Надеюсь что правильно решил.
выразим tg a и ctg a через sin и cos:
Рассмотрим две последовательности:
1) Последовательность трехзначных чисел, делящихся на 7:
105; 112; .... ; 994
Эта последовательность является арифметической прогрессии с первым членом 105 и разность прогрессии 7.
![a_n=a_1+(n-1)d\\ 994=105+7(n-1)~~|:7\\142=15+n-1\\ n=128](https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29d%5C%5C+994%3D105%2B7%28n-1%29~~%7C%3A7%5C%5C142%3D15%2Bn-1%5C%5C+n%3D128)
Получили, что всего 128 трехзначных чисел, кратных 7.
Сумма этих чисел: ![S_{128}=\dfrac{a_1+a_{128}}{2}\cdot128=64\cdot(105+994)=70336](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B128%7D%3D%5Cdfrac%7Ba_1%2Ba_%7B128%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot128%3D64%5Ccdot%28105%2B994%29%3D70336)
2) В последовательности трехзначных чисел,делящихся на 7 есть те числа которые делятся и на 13, значит их нужно исключить, поэтому рассмотрим последовательность трехзначных чисел, делящихся на 7 и на 13.
182; 273; ... ; 910 — арифметическая прогрессия с первым членом 182 и разностью прогрессии d=91.
![910=182+91(n-1)~~|:91\\ 10=2+n-1\\ n=9](https://tex.z-dn.net/?f=910%3D182%2B91%28n-1%29~~%7C%3A91%5C%5C+10%3D2%2Bn-1%5C%5C+n%3D9)
Всего 9 трехзначных чисел, которые делятся на 7 и на 13 одновременно.
![S_{9}=\dfrac{a_1+a_9}{2}\cdot9=\dfrac{182+910}{2}\cdot9=4914](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B9%7D%3D%5Cdfrac%7Ba_1%2Ba_9%7D%7B2%7D%5Ccdot9%3D%5Cdfrac%7B182%2B910%7D%7B2%7D%5Ccdot9%3D4914)
Искомая сумма: ![S_{128}-S_9=70336-4914=65422](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B128%7D-S_9%3D70336-4914%3D65422)