Question

Число $x$ определенно на множестве действительных чисел, но не является целым. Число $x^{2}-3x$ - целое отрицательное число. Число $x+ \frac{1}{x}$ является натуральным.
Найти значение числа $x$, удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: $\frac{3+ \sqrt{5} }{2}$ и $\frac{3- \sqrt{5} }{2}$.
(Интересует не ответ, а решение: как получить данные выше значения и как доказать, что других значений нет).
Спасибо.

Answer 1

Решается, например, так:
Смотрим когда x²-3x=(x-3/2)²-9/4 будет отрицательным целым. Ясно, что для этого 4(x-3/2)²-9<0 должно делится на 4. Это возможно тогда и только тогда, когда: 4(x-3/2)²=5 или 4(x-3/2)²=1. Решаем два уравнения и получаем только два нецелых корня x=(3+√5)/2 и x=(3-√5)/2. Число x+1/x в таком случае равно 3, что удовлетворяет условию.