Question

Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремумов, направления выпуклостей и точки перегиба : y = x^3 – 4x^2 .

Answer 1

 f(x) = x³ - 4*x²
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение:  x³  - 4*x²  = 0 Точки пересечения с осью X: Аналитическое решениеx1 = 0x2 = 4 Численное решениеx1 = 0x2 = 4 Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x^3 - 4*x^2. 3 2 0 - 4*0 Результат: f(0) = 0 Точка:(0, 0)
График функции  x^3 - 4*x^2  в приложении.
Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 2 -8*x + 3*x = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1 = 0 x2 = 8/3 Значит, экстремумы в точках:(0, 0)  (8/3, -256/27)  
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 8/3 Максимумы функции в точках:x2 = 0Убывает на промежутках(-oo, 0] U [8/3, oo)Возрастает на промежутках[0, 8/3]Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 2*(-4 + 3*x) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1 = 4/3
Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках[4/3, oo)Выпуклая на промежутках(-oo, 4/3]Горизонтальные асимптоты 
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 3 2 lim x - 4*x = -oo x->-oo значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 3 2 lim x - 4*x = oo x->oo значит,горизонтальной асимптоты справа не существует 
Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 4*x^2, делённой на x при x->+oo и x->-oo 3 2 x - 4*x lim --------- = oo x->-oo x значит,наклонной асимптоты слева не существует 3 2 x - 4*x lim --------- = oo x->oo x значит,наклонной асимптоты справа не существует 
Чётность и нечётность функции Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 3 2 3 2 x - 4*x = - x - 4*x - Нет 3 2 3 2 x - 4*x = - -x - -4*x - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной