Question

Как найти площадь всех квадратов в геометрич. прогрессии?

В квадрат со стороной 1 см вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т.д. (см.рис.)

Как искали?

Answer 1

Перед нами бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Площади квадратов S1,S2,S3,... являются членами этой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой - площадь самого большого квадрата S1 - равен единице, а знаменатель (q) равен 1/2.

Известно, что для такой прогрессии можно вычислить сумму ее членов, как число к которому неограниченно приближается сумма первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа n, где n - порядковый номер членов прогрессии.

Как вычисляется:

Найдем значения нескольких первых членов прогрессии.

1) Площадь самого большого квадрата со стороной b1 = 1 см:

S1 = 1*1 = 1

2) Для нахождения S2 сначала вычислим по теореме Пифагора длину стороны второго квадрата:

1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2) = 2/4 = 1/2, извлекаем корень, получаем b2 = 1/(корень из двух). Некоторые действия приходится писать словами, увы.

Находим площадь второго квадрата, она равна S2 = 1/2

3) Аналогично, площадь третьего квадрата будет равна S3 = 1/4, ну и т.д.

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно поделить значение последующего члена прогрессии на предыдущий, например: S2 поделить на S1. В результате получаем, что знаменатель нашей прогрессии равен q = 1/2.

Теперь находим сумму всех площадей квадратов по известной формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = S1/(1-q)

S = 1/(1 - 1/2) = 2

Ответ: искомая площадь равна 2.