Question

Очень трудная задача. помогите, очень нужно!!!
Предполагаем что f является дифференцируема на f∈R.
Вычислите f (x) в условиях x когда f (x+y) = $\frac{1}{3}$ f(x) f(y) для всех x, y и f(0)=3, f ' (0)=6.

Answer 1

$d[ f(x+y) ] =f'(x+y)*d[x+y]=f'(x+y)*dx+f'(x+y)*dy$

$d[1/3*f(x)*f(y)]=1/3*f'(x)*f(y)*dx+1/3*f'(y)*f(x)*dy$

Тогда

$f'(x+y)=1/3*f'(x)*f(y)=1/3*f'(y)*f(x)$

Исходя из начальных условий, можно написать

$\left \{ {{1/3*f(-y)*f(-x)=3} \atop {1/3*f'(-x)*f(-y)=6}} \right.$

Избавляясь от $f(-y)$ придем к

$\frac{f'(-x)}{f(-x)} =2$

Интегрируя получим

$f(-x)=C*e^{2*(-x)}$

отсюда

$f(x)=C*e^{2x}$

Из начальных условий находим значение константы $C=3$

Тогда $f(x)=3e^{2x}$

Answer 2

(f(x + y) - f(x))/y = (f(x)f(y)/3 - f(x))/y = f(x) * (f(y)/3 - 1)/y = f(x)/3 * (f(y) - 3)/y = f(x)/3 * (f(y) - f(0))/y

Переходим к пределу при y, стремящемся к нулю:

f'(x) = f(x)/3 * f'(0)

f'(x) = 2f(x)

Общее решение дифференциального уравнения f(x) = C exp(2x), постоянную C находим из начального условия:

3 = f(0) = C exp(2 * 0) = C

Ответ. f(x) = 3 exp(2x)