Question

Решить дифференциальное уравнение y'-(y/x) = (1/x^2)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным. Его решение будем искать в виде произведения двух функций $y=u(x)\times v(x)$, тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'v+uv'$. Подставляя в исходное уравнение, получим
·                             $u'v+uv'- \dfrac{uv}{x}= \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow\,\,\, u'v+u\bigg(v'- \dfrac{v}{x} \bigg)= \dfrac{1}{x^2}$
Подбираем функцию $v$ так, чтобы выражение в скобках было равно 0. То есть, имеет место система
·                                                          $\displaystyle \left \{ {{v'- \frac{v}{x} =0} \atop {u'v= \frac{1}{x^2} }} \right.$
Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
·                        $\displaystyle \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \Rightarrow\,\, \int\limits \frac{dv}{v}= \int\limits \frac{dx}{x} \Rightarrow\,\, \ln|v|=\ln|x|\Rightarrow\,\, v=x$
Подставим найденное значение во второе уравнение и решим его:
·            $\displaystyle u'x= \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow\,\, u'= \dfrac{1}{x^3} \Rightarrow\,\, u= \int\limits \frac{dx}{x^3}= \frac{x^{-2}}{-2}+C=- \frac{1}{2x^2}+C$ 
Вернувшись к замене, получим:
·                    $y=\bigg(- \dfrac{1}{2x^2}+C \bigg)\times x= - \dfrac{1}{2x}+C x$ - общее решение

Ответ: $y=- \dfrac{1}{2x}+C x.$