Question

Найдите наименьшее натуральное число n такое что среди чисел от n до n +76319 нет ни одного точного куба

Answer 1

Из условия следует, что $k^3<n<n +76319<(k+1)^3,\:k \in N\\ =>76319<(k+1)^3-k^3=1*((k+1)^2+(k+1)k+k^2)=3k^2+3k+1=3(k+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{3}{4}\\ 76319 \dfrac{3}{4}<3(k+\dfrac{1}{2})^2\\ 25439\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}<(k+\dfrac{1}{2})^2\\ 25281<(k+\dfrac{1}{2})^2\\ 159-\dfrac{1}{2}<k\\ 159\leq k\\k_{min}=159 \\ n_{min}=159^3+1$

Проверим: $n +76319=159^3+76320\\ (k+1)^3=160^3\\ 160^3-(159^3+76320)=160^3-159^3-76320=1*(160^2+160*159+159^2)-76320=160^2+(160-1)^2+160*(159-477)=2*160^2-2*160+1-160*318=2*160^2+1-160*320=160*320+1-160*320=1>0=>(k+1)^3>n +76319\\ k^3=159^3<159^3+1=n$

Верно.

Ответ: $159^3+1$