Question

Записать уравнение плоскости, проходящей ч/з три точки A, В и С. Найти нормальный вектор и уравнение плоскости в отрезках. Построить данную плоскость.
A(-3,2,5); B(1,4,-3); С(2,1,4)

Answer 1

Уравнение плоскости через три точки - это определитель
|x+3  y-2    z-5|
|1+3  4-2  -3-5| = 0
|2+3  1-2   4-5|
Раскрываем его по правилу треугольника
(x+3)*2(-1)+(y-2)*5(-8)+(z-5)*4(-1)-(x+3)(-1)(-8)-(y-2)*4(-1)-(z-5)*5*2 = 0
Приводим подобные
(x+3)(-2 - 8) + (y-2)(-40 + 4) + (z-5)(-4 - 10) = 0
Раскрываем скобки
-10x - 36y - 14z - 30 + 72 + 70 = 0
Делим все на -2
5x + 18y + 7z - 56 = 0
Нормальный вектор: (5, 18, 7)
Уравнение в отрезках
5x + 18y + 7z = 56
x/(56/5) + y/(56/18) + z/(56/7) = 1
x/(56/5) + y/(28/9) + z/8 = 1
Стройте сами, у меня с геометрией дело плохо.

Answer 2

Нормальный вектор плоскости:

$\overline {n}=\overline {AB}\times \overline {BC}= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&2&-8\\1&-3&7\end{array}\right| =-10i-36j-14k\\\\\overline {n_1}=(-10,-36,-14)\; \; \; ili\; \; \; \overline{n_2}=(5,18,7)\\\\5(x-1)+18(y-4)+7(z+3)=0\\\\ABC:\; \; 5x+18y+7z-56=0\\\\5x+18y+7z=56\, |:56\\\\\frac{x}{11,2}+\frac{y}{56/18}+\frac{z}{8}=1$