Question

Исследовать на сходимость ряд, помогите пожалуйста решить второе задание, если возможно с пояснениями

Answer 1

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{lnn}{n^3+n+1}$

Известно неравенство:   $lnn<n$  , если $n\to \infty$  .
Сравним заданный ряд с рядом , общий член которого равен
 
    $\frac{n}{n^3+n+1} \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$  .

Сравним общие члены рядов:

$\frac{lnn}{n^3+n+1} \ \textless \ \frac{n}{n^3+n+1} \; \; (\star )\\\\\\ \frac{n}{n^3+n+1} \sim \frac{1}{n^2}$

Ряд   $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n^2}$  -  обобщённо-гармонический сходящийся ряд .
Применим признак сравнения в предельной форме:

 $\lim\limits _{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{n}{n^3+n+1} :\frac{1}{n^2} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3+n+1} =1\ne 0$

Так как предел не равен 0 , то оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся. 
Из неравенства  $(\star )$  следует, что ряд, общий член которого больше (мажорантный ряд), является сходящимся, значит и ряд с меньшим общим членом тоже будет сходящимся  (признак сравнения).
Значит , исходный ряд сходится.