Даны координаты вершин пирамиды:
<span>А(0; 1; -1), B(-2; 3; 5), C(1; -5; -9), D(-1 ;-6; 3).
1) Определяем уравнение плоскости BCD:
</span><span>Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .</span>
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1<span> + B · y</span>1<span> + C · z</span>1<span> + D = 0 ,</span>
A · x2<span> + B · y</span>2<span> + C · z</span>2<span> + D = 0 ,</span>
A · x3<span> + B · y</span>3<span> + C · z</span>3<span> + D = 0 .</span>
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (-2) + B · (3) + C · (5) + D = 0 ,
A · (1) + B · (-5) + C · (-9) + D = 0 ,
A · (-1) + B · (-6) + C · (3) + D = 0 .
Решение матричным способом:
<span>(x - (-2))</span>-(8·(-2)-(-14)·(-9)) - (<span><span>y - </span>3)(</span>3·(-2)-(-14)·1) + (<span><span>z - </span>5)(</span>3·(-9)-(-8)·1) = 0
(-110)(<span>x - (-2))</span> + (-8)(<span>y - 3)</span> + (-19)(<span>z - 5)</span> = 0
- 110x - 8y - 19z - 101 = 0.
Если умножим на -1, то получим уравнение плоскости:
110 · x + 8 · y + 19 · z + 101 = 0 .
Координаты точки А: (0; 1; -1).
Если прямая перпендикулярна плоскости 110x + 8y + 19z + 101 = 0,<span> значит она параллельна нормальному вектору этой плоскости </span><span><span><span>n⃗ </span>=<span>{110; 8; 19}</span></span>.</span><span> Итак надo составит уравнение прямой с направляющим вектором </span><span>n⃗ ,</span><span> проходящей через точку А </span>(0; 1; -1).
2) Расстояние от точки А до плоскости BCD.
Для вычисления расстояния от точки А(0, 1, -1) до плоскости
110x + 8y + 19z<span> + 101 = 0 </span>используем формулу:
d = |A·Аx + B·Ау + C·Аz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данныеd = |110·0 + 8·1 + 19·(-1) + 101|/√(110² + 8² + 19²) =
= |0 + 8 - 19+ + 101| / √(12100 + 64 + 361) =
= 90/√12525 = 6√501/167 ≈ 0,80418069.
3) Угол между прямой АС и плоскостью BCD.
Уравнение АС: (x-0)/1 = (y-1)/(-6) = (z+1)/(-8).
Направляющий вектор прямой имеет вид:s = 1; -6; -8
Вектор нормали плоскости имеет вид:q = 110; 8; 19
Угол между прямой и плоскостью:
<span><span><span>sin φ = </span><span>| A · l + B · m + C · n |</span> /(</span><span>√A</span></span>² + B² + C²<span> · √l</span>²<span> + m</span>²<span> + n</span>²) <span><span>=
= | 110 · 1 + 8 · (-6) + 19 · (-8) | /(</span><span>√110</span></span>² + 8² + 19²<span> · √1</span>² + (-6)² + (-8)²) <span><span>=
= | 110 - 48 - 152 | /(</span><span>√(12100 + 64 + 361)·√(1 + 36 + 64)) </span></span><span><span>=
= 90 /(</span><span>√12525·√101) </span></span>= 90/√1265025 = 6√50601/16867 ≈ 0,0800189697.
Этому синусу соответствует угол 0,0801046 радиан или
4,5896561°.