*** подробное разжёвывание для тех, кто тоже не понимает
В большом классе задач по комбинаторике самый быстрый путь подсчёта осуществляется специальным приёмом, заключающимся в том, что мы «метим» (нумеруем, делаем различимыми) неразличимые объекты, делая этой операцией их различимыми. При этом оказывается, что в таком предварительном подсчёте числе комбинаций различаются наборы [апельсины №1 и №2] и [апельсины №2 и №1], поэтому конечных комбинаций нужно брать в два раза меньше, чем предварительных.
Если мы «помечаем» не два, а три неразличимых объекта и начинаем их различать на этапе промежуточных вычислений, то предварительный подсчёт числа комбинаций оказывается в
![6](https://tex.z-dn.net/?f=+6+)
раз больше, поскольку мы различаем
![6](https://tex.z-dn.net/?f=+6+)
комбинаций ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Поэтому для получения конечного числа комбинаций нужно промежуточный вариант разделить на
![6=3!](https://tex.z-dn.net/?f=+6%3D3%21+)
При любом другом числе
![n](https://tex.z-dn.net/?f=+n+)
условно-различимых объектов нужно делить промежуточное число на
![n!](https://tex.z-dn.net/?f=+n%21+)
![3](https://tex.z-dn.net/?f=+3+)
яблока
![+ 5](https://tex.z-dn.net/?f=+%2B+5+)
груш
![+ 2](https://tex.z-dn.net/?f=+%2B+2+)
персика
![+](https://tex.z-dn.net/?f=+%2B+)
апельсин
![= 11](https://tex.z-dn.net/?f=+%3D+11+)
объектов.
Итак, всего у мамы есть 11 объектов. Пометим все изначально неразличимые объекты, так что получится первое яблоко, второе яблоко, третье яблоко, первая груша, вторая груша и т.п.
Всего все такие условно-различимые объекты можно переставить
![(11!)](https://tex.z-dn.net/?f=+%2811%21%29+)
способами.
НО ! Среди них не различимы
![3](https://tex.z-dn.net/?f=+3+)
яблока, а значит
![(3!)](https://tex.z-dn.net/?f=+%283%21%29+)
способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на
![(3!) .](https://tex.z-dn.net/?f=+%283%21%29+.+)
НО ! Среди них не различимы
![5](https://tex.z-dn.net/?f=+5+)
груш, а значит
![(5!)](https://tex.z-dn.net/?f=+%285%21%29+)
способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на
![(5!) .](https://tex.z-dn.net/?f=+%285%21%29+.+)
НО ! Среди них не различимы
![2](https://tex.z-dn.net/?f=+2+)
персика, а значит
![2!=2](https://tex.z-dn.net/?f=+2%21%3D2+)
способа всех перестановок не различимы и нужно разделить на
![2 .](https://tex.z-dn.net/?f=+2+.+)
Всего, с учётом реальной неразличимости, поучим, что число вариантов
![N](https://tex.z-dn.net/?f=+N+)
равно:
![N = \frac{11!}{5!3!2} = \frac{ 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{3!2} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7 = 27 \ 720](https://tex.z-dn.net/?f=+N+%3D+%5Cfrac%7B11%21%7D%7B5%213%212%7D+%3D+%5Cfrac%7B+11+%5Ccdot+10+%5Ccdot+9+%5Ccdot+8+%5Ccdot+7+%5Ccdot+6+%7D%7B3%212%7D+%3D+11+%5Ccdot+10+%5Ccdot+9+%5Ccdot+4+%5Ccdot+7+%3D+27+%5C+720+)
О т в е т :
![27 \ 720](https://tex.z-dn.net/?f=+27+%5C+720+)
вариантов.
Все эти
![27 \ 720](https://tex.z-dn.net/?f=+27+%5C+720+)
теоретически, конечно, можно было бы выписать, чтобы проиллюстрировать всю картину вариантов, но это заняло бы очень большой объём трудно воспринимаемого текста, поэтому, если уж и попытаться перечислить все возможные варианты, то тогда лучше составить полностью аналогичную модель на меньших числах. Возьмём не
![3 ,](https://tex.z-dn.net/?f=+3+%2C+)
а
![2](https://tex.z-dn.net/?f=+2+)
яблока, не
![5 ,](https://tex.z-dn.net/?f=+5+%2C+)
а
![4](https://tex.z-dn.net/?f=+4+)
груши, избавимся от персиков и оставим апельсин.
Тогда по такой же формуле, найдём, что общее количество вариантов их последовательной раскладки будет:
![N_1 = \frac{7!}{4!2} = \frac{ 7 \cdot 6 \cdot 5 }{2} = 7 \cdot 3 \cdot 5 = 105](https://tex.z-dn.net/?f=+N_1+%3D+%5Cfrac%7B7%21%7D%7B4%212%7D+%3D+%5Cfrac%7B+7+%5Ccdot+6+%5Ccdot+5+%7D%7B2%7D+%3D+7+%5Ccdot+3+%5Ccdot+5+%3D+105+)
;
И Л Л Ю С Т Р А Ц И Я . В А Р И А Н Т О В . раскладки двух яблок, четырёх груш и апельсина:
Далее: Я – яблоко, г – груша и @ – апельсин.
При помощи функции поиска в браузере (Ctrl+F) можно проверить, что любая комбинация встречается всего один раз, а любая комбинация, которую можно было бы придумать, уже записана в перечне комбинаций.
1. ЯЯгггг@
2. ЯЯггг@г
3. ЯЯгг@гг
4. ЯЯг@ггг
5. ЯЯ@гггг
6. ЯгЯггг@
7. ЯгЯгг@г
8. ЯгЯг@гг
9. ЯгЯ@ггг
10. ЯггЯгг@
11. ЯггЯг@г
12. ЯггЯ@гг
13. ЯгггЯг@
14. ЯгггЯ@г
15. ЯггггЯ@
16. Ягггг@Я
17. Яггг@Яг
18. Яггг@гЯ
19. Ягг@Ягг
20. Ягг@гЯг
21. Ягг@ггЯ
22. Яг@Яггг
23. Яг@гЯгг
24. Яг@ггЯг
25. Яг@гггЯ
26. Я@Ягггг
27. Я@гЯггг
28. Я@ггЯгг
29. Я@гггЯг
30. Я@ггггЯ
31. гЯЯггг@
32. гЯЯгг@г
33. гЯЯг@гг
34. гЯЯ@ггг
35. гЯгЯгг@
36. гЯгЯг@г
37. гЯгЯ@гг
38. гЯггЯг@
39. гЯггЯ@г
40. гЯгггЯ@
41. гЯггг@Я
42. гЯгг@Яг
43. гЯгг@гЯ
44. гЯг@Ягг
45. гЯг@гЯг
46. гЯг@ггЯ
47. гЯ@Яггг
48. гЯ@гЯгг
49. гЯ@ггЯг
50. гЯ@гггЯ
51. ггЯЯгг@
52. ггЯЯг@г
53. ггЯЯ@гг
54. ггЯгЯг@
55. ггЯгЯ@г
56. ггЯггЯ@
57. ггЯгг@Я
58. ггЯг@Яг
59. ггЯг@гЯ
60. ггЯ@Ягг
61. ггЯ@гЯг
62. ггЯ@ггЯ
63. гггЯЯг@
64. гггЯЯ@г
65. гггЯгЯ@
66. гггЯг@Я
67. гггЯ@Яг
68. гггЯ@гЯ
69. ггггЯЯ@
70. ггггЯ@Я
71. гггг@ЯЯ
72. ггг@ЯЯг
73. ггг@ЯгЯ
74. ггг@гЯЯ
75. гг@ЯЯгг
76. гг@ЯгЯг
77. гг@ЯггЯ
78. гг@гЯЯг
79. гг@гЯгЯ
80. гг@ггЯЯ
81. г@ЯЯггг
82. г@ЯгЯгг
83. г@ЯггЯг
84. г@ЯгггЯ
85. г@гЯЯгг
86. г@гЯгЯг
87. г@гЯггЯ
88. г@ггЯЯг
89. г@ггЯгЯ
90. г@гггЯЯ
91. @ЯЯгггг
92. @ЯгЯггг
93. @ЯггЯгг
94. @ЯгггЯг
95. @ЯггггЯ
96. @гЯЯггг
97. @гЯгЯгг
98. @гЯггЯг
99. @гЯгггЯ
100. @ггЯЯгг
101. @ггЯгЯг
102. @ггЯггЯ
103. @гггЯЯг
104. @гггЯгЯ
105. @ггггЯЯ