Question

Помогите решить логарифмическое неравенство по модульному основанию! (фото) Спасибо!

Answer 1

$\displaystyle log_{|x+2|}(4+7x-2x^2) \leq 2$

ОДЗ

$\displaystyle \left \{ {{4+7x-2x^2\ \textgreater \ 0} \atop {|x+2|\ \textgreater \ 0; |x+2| \neq 1}} \right.$

$\displaystyle -2x^2+7x+4\ \textgreater \ 0\\D=49+32=81=9^2\\x_1=-0.5; x_2=4$

$\displaystyle |x+2|\ \textgreater \ 0; x\in R$

$\displaystyle |x+2| \neq 1\\x \neq -3;x \neq -1$

ОДЗ (-0,5;4)

Решение:

1) основание больше 1

$\displaystyle |x+2|\ \textgreater \ 1\\x\ \textgreater \ -1; x\ \textless \ -3$

$\displaystyle -2x^2+7x+4 \leq (x+2)^2\\-2x^2+7x+4 \leq x^2+4x+4\\-3x^2+3x \leq 0\\3x(1-x) \leq 0$

$\displaystyle (-oo;0] [1;+oo)$

объеденим ОДЗ и условие что основание больше 1

-- -1 --- -1/2 ------0---------------1--------4----

получим промежуток (-1/2;0] [1;4)

2) основание меньше 1

$\displaystyle |x+2|\ \textless \ 1\\-3\ \textless \ x\ \textless \ -1$

не входит в ОДЗ 
значит решений нет

ОТВЕТ : (-1/2;0]∪[1;4)