Произведем замену. Пусть
![x^2=t(t \geq 0)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3Dt%28t+%5Cgeq+0%29)
, тогда придем к уравнению вида
![t^2+(a-3)t+(a+10)^2=0.](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E2%2B%28a-3%29t%2B%28a%2B10%29%5E2%3D0.)
Поскольку t - положительное число, то корни квадратного трехчлена
![At^2+Bt+C](https://tex.z-dn.net/?f=At%5E2%2BBt%2BC)
с действительными коэффициентами оба действительны и оба больше данного числа
![\gamma](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cgamma)
(
![t_1\ \textgreater \ \gamma,\,\, t_2\ \textgreater \ \gamma)](https://tex.z-dn.net/?f=t_1%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5Cgamma%2C%5C%2C%5C%2C+t_2%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5Cgamma%29)
, когда
![\begin{cases} & \text{ } B^2-4AC \geq 0 \\ & \text{ } A(A\gamma^2+B\gamma+C)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } \gamma\ \textless \ - \dfrac{B}{2A} \end{cases}.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D++B%5E2-4AC+%5Cgeq+0++%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+A%28A%5Cgamma%5E2%2BB%5Cgamma%2BC%29%5C+%5Ctextgreater+%5C+0+%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+%5Cgamma%5C+%5Ctextless+%5C+-+%5Cdfrac%7BB%7D%7B2A%7D++%0A%5Cend%7Bcases%7D.)
Согласно этому и условию, имеем
![\begin{cases} & \text{ } (a-3)^2-4(a+10)^2 \geq 0 \\ & \text{ } 1\cdot(1\cdot 0^2+B\cdot 0+(a+10)^2)\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } 0\ \textless \ - \dfrac{a-3}{2} \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+%28a-3%29%5E2-4%28a%2B10%29%5E2+%5Cgeq+0+%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+1%5Ccdot%281%5Ccdot+0%5E2%2BB%5Ccdot+0%2B%28a%2B10%29%5E2%29%5C+%5Ctextgreater+%5C+0+%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+0%5C+%5Ctextless+%5C+-+%5Cdfrac%7Ba-3%7D%7B2%7D++%0A%5Cend%7Bcases%7D)
Рассмотрим неравенства отдельно
![(a-3)^2-4(a+10)^2 \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28a-3%29%5E2-4%28a%2B10%29%5E2+%5Cgeq+0)
. Применяя формулу сокращенного умножения
![(a-b)(a+b)=a^2-b^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28a-b%29%28a%2Bb%29%3Da%5E2-b%5E2)
в левой части неравенства, получим
![(a-3-2a-20)(a-3+2a+10) \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28a-3-2a-20%29%28a-3%2B2a%2B10%29+%5Cgeq+0)
, тогда
![(-a-23)(3a+7) \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28-a-23%29%283a%2B7%29+%5Cgeq+0)
. Приравняв к нулю, получим корни
![a_1=-23;\,\,\, a_2=- \frac{7}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D-23%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C+a_2%3D-+%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D+)
![(a+10)^2\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28a%2B10%29%5E2%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
. Левая часть неравенства принимает только положительные значения, значит неравенство выполняется при
![a \in (-\infty;-10)\cup(-10;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B-10%29%5Ccup%28-10%3B%2B%5Cinfty%29)
![0\ \textless \ -\frac{a-3}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=0%5C+%5Ctextless+%5C++-%5Cfrac%7Ba-3%7D%7B2%7D+)
. Умножив обе части неравенства на 2, получим
![-a+3\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=-a%2B3%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
откуда
![a\ \textless \ 3](https://tex.z-dn.net/?f=a%5C+%5Ctextless+%5C+3)
Общее решение системы неравенств
![a \in [-23;-10)\cup(-10;- \frac{7}{3} ]](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%5B-23%3B-10%29%5Ccup%28-10%3B-+%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D+%5D)
Проверим теперь некоторые нюансы. Если
![a=-23](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-23)
, то неравенство примет вид
![x^4-26x^2+169=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4-26x%5E2%2B169%3D0)
. Используя формулу сокращенного умножения
![(a-b)^2=a^2-2ab+b^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28a-b%29%5E2%3Da%5E2-2ab%2Bb%5E2)
, получим
![(x^2-13)^2=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2-13%29%5E2%3D0)
, тогда
![x^2=13](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D13)
откуда
![x=\pm \sqrt{13}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cpm+%5Csqrt%7B13%7D+)
. Значит при а=-23 уравнение имеет 2 корня, следовательно, а=-23 нам не подходит.
Если
![a=- \frac{7}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-+%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D+)
, то уравнение примет вид
![9x^4-48x^2+529=0](https://tex.z-dn.net/?f=9x%5E4-48x%5E2%2B529%3D0)
. Решив квадратное уравнение относительно
![x^2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2)
, имеем
![D=(-48)^2-4\cdot9\cdot529\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%28-48%29%5E2-4%5Ccdot9%5Ccdot529%5C+%5Ctextless+%5C+0)
. Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Ответ: ![a\in (-23;-10)\cup(-10;- \frac{7}{3} )](https://tex.z-dn.net/?f=+a%5Cin+%28-23%3B-10%29%5Ccup%28-10%3B-+%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D+%29)