Question

При каком отрицательном значении а уравнение $x^{3}-3 x^{2} -a =0$ имеет ровно два корня? Пожалуйста, помогите. Тема: применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы, 10 класс.

Answer 1

У нас есть функция:
$x^3-3x^2$
Точки пересечения с нулем, достаточно просто найти:
$x^2(x-3)=0; x = 0 ; x = 3$
Экстремумы: $3x^2-6x=0; 3x(x-2)=0: x=0; x =2$
Прикинув график, мы примерно понимаем, что 0 это ноль и экстремум, одновременно, а между 0 и 3, также есть экстремум в двух(Это можно было бы и утверждать по теореме Ролля)
А теперь добавим наш параметр а, т.к. а это конкретное число, это никак не влияет на график по правилу элементарных преобразований, она либо опускать его будешь вниз, либо поднимать вверх.
Т.к. а отрицательно, то график будет подниматься(перед а, знак минус)
Нужно найти такое а, при котором второй экстремум будет обращаться в ноль, который (2).
Составим уравнение:
8-3*4-a=0;
-4-a=0; a = -4. Получаем, что ровно два корня, при:
$a \in (-4)$