Question

В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна частотой ν=100 МГц и амплитуда электрической составляющей Емакс=50 мВ/м. Найти: средние за период колебания значения : а) модуля плотности тока смещения; б)плотности потока энергии.

Answer 1

$E_m=50*10^-^3\\ \nu = 100 *10^6$
Напряженность электрического поля:
$E=E_mcos(\omega t)$
Плотность тока смещения:
$j=\varepsilon _0 \frac{\partial E}{\partial t} =\varepsilon _0 \frac{\partial }{\partial t} (E_mcos(\omega t))=-\varepsilon _0E_m\omega sin(\omega t)$
В случае гармонического колебания среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полуволны гармонической функции. Для того, чтобы найти средние абсолютное значение будем интегрировать на полупериоде, тогда:
 
$\ \textless \ j\ \textgreater \ = \frac{\int_{0}^{T/2} j}{\int_{0}^{T/2}dt} =- \frac{\int_{0}^{T/2} \varepsilon _0E_m\omega sin(\omega t) dt}{\int_{0}^{T/2}dt}= \begin{bmatrix} T= \frac{2\pi}{\omega} \end{bmatrix}= \frac{ \varepsilon _0E_m(-(-1-1))}{ \frac{\pi}{\omega} } = \\\\=\varepsilon _0E_m \omega \frac{2}{\pi} =8,85*10^{-12}*50*10^{-3}*100*10^{6}* 0,64= 28,3 *10^{-6}$

Плотность энергии:
$\varpi = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}$
Средняя плотность:
$\ \textless \ \varpi \ \textgreater \ = \frac{\varepsilon_0}{2T} \int\limits^T_0 {(E_mcos(\omega t))^2} \, dt = \frac{\varepsilon_0E_m^2}{2T} \frac{\pi}{\omega} =\frac{\varepsilon_0E_m^2}{4}$