Question

Доказать , что ( на фото )

Answer 1

Пусть x = arctg b, тогда tg x = b. Найдём sin x.

Из условия tg x = b получаем, что cos x = 1/b * sin x. Записываем основное тригонометрическое тождество:
sin^2 x + cos^2 x = 1
sin^2 x + 1/b^2 * sin^2 x = 1
sin^2 x * (1 + 1/b^2) = 1
sin^2 x = b^2 / (1 + b^2)
sin x = +- b / sqrt(1 + b^2)

Чтобы выбрать верный знак, вспомним, что по определению арктангенса -pi/2 < x < pi/2, тогда cos x > 0 и sin x и tg x имеют одинаковые знаки. У tg x знак такой же, что и у b, значит, и у синуса должен быть знак такой же, что и у b.

sin x = b / sqrt(1 + b^2)
x = arcsin(b / sqrt(1 + b^2))