![1+tg ^{2} \alpha = \frac{tg ^{2} \alpha }{Sin ^{2} \alpha }\\\\ \frac{tg ^{2} \alpha }{Sin ^{2} \alpha } = \frac{ \frac{Sin ^{2} \alpha }{Cos ^{2} \alpha } }{Sin ^{2} \alpha } = \frac{Sin ^{2} \alpha }{Cos ^{2} \alpha *Sin ^{2} \alpha }= \frac{1}{Cos ^{2} \alpha } =1+tg ^{2} \alpha \\\\1+tg ^{2} \alpha =1+tg ^{2} \alpha](https://tex.z-dn.net/?f=1%2Btg+%5E%7B2%7D+%5Calpha+%3D+%5Cfrac%7Btg+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%7BSin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%5C%5C%5C%5C+%5Cfrac%7Btg+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%7BSin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7BSin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%7BCos+%5E%7B2%7D++%5Calpha+%7D+%7D%7BSin+%5E%7B2%7D++%5Calpha+%7D+%3D+%5Cfrac%7BSin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%7BCos+%5E%7B2%7D+%5Calpha+%2ASin+%5E%7B2%7D++%5Calpha++%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7BCos+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D+%3D1%2Btg+%5E%7B2%7D+%5Calpha+%5C%5C%5C%5C1%2Btg+%5E%7B2%7D++%5Calpha+%3D1%2Btg+%5E%7B2%7D+%5Calpha++++++)
Тождество доказано, при этом была использована формула:
![\frac{1}{Cos ^{2} \alpha }=1+tg ^{2} \alpha](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7BCos+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%3D1%2Btg+%5E%7B2%7D+%5Calpha+++)
![\frac{Cos \alpha -Cos ^{3} \alpha }{Sin ^{2} \alpha } =-Sin( \frac{3 \pi }{2} - \alpha )\\\\\\ \frac{Cos \alpha -Cos ^{3} \alpha }{Sin ^{2} \alpha }= \frac{Cos \alpha (1-Cos ^{2} \alpha ) }{Sin ^{2} \alpha } = \frac{Cos \alpha *Sin ^{2} \alpha }{Sin ^{2} \alpha } =Cos \alpha\\\\\\-Sin( \frac{3 \pi }{2} - \alpha ) =Cos \alpha \\\\\\Cos \alpha =Cos \alpha](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BCos+%5Calpha+-Cos+%5E%7B3%7D+%5Calpha++%7D%7BSin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D+%3D-Sin%28+%5Cfrac%7B3+%5Cpi+%7D%7B2%7D+-+%5Calpha+%29%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%5Cfrac%7BCos+%5Calpha+-Cos+%5E%7B3%7D++%5Calpha+%7D%7BSin+%5E%7B2%7D++%5Calpha+%7D%3D+%5Cfrac%7BCos+%5Calpha+%281-Cos+%5E%7B2%7D+%5Calpha+%29+%7D%7BSin+%5E%7B2%7D++%5Calpha+%7D+%3D+%5Cfrac%7BCos+%5Calpha+%2ASin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D%7BSin+%5E%7B2%7D+%5Calpha++%7D+%3DCos+%5Calpha%5C%5C%5C%5C%5C%5C-Sin%28+%5Cfrac%7B3+%5Cpi+%7D%7B2%7D+-+%5Calpha+%29+%3DCos+%5Calpha+%5C%5C%5C%5C%5C%5CCos+%5Calpha+%3DCos+%5Calpha+++)
Тождество доказано
Предположим, что изначальный процент x, тогда в конце первого года на счету будет: 10000 * ((100+x)/100) [р] .
В конце первого года процент стал x+5, тогда в конце второго года на счету будет: (10000 * ((100+x)/100)) * ((100+x+5)/100) = 11550 [р]
Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение:
(100+x) * (105+x) = 10500 + 205*x + x*x = 11550
x*x + 205*x - 1050 = 0
Дискриминант: D = 205*205 + 4*1050 = 40000+2000+25+4200 = 46225 = 215^2
x1 = (-205 - 215)/2 = -210 (не имеет смысла)
x2 = (-205 + 215)/2 = 5
Ответ: 5%
Числа : 556,656,565,665,566,655,
555,666