Question

Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, проведенные из прямого угла к гипотенузе, равны соответственно 3 и 4. Тогда площадь треугольника равна

Answer 1

Высота Н и биссектриса Б прямоугольного треугольника АВС, проведенные из прямого угла к гипотенузе, равны соответственно 3 и 4.

Угол α между Н и Б равен разности углов С и А треугольника АВС.
Составим систему:
С  -  А = α,
С + А = 90°.
--------------
2С = 90° + α,
С = (90° + α)/2.
На основе задания α = arc cos (3/4) =  0,722734 радиан = 41,40962°.
Тогда С = (90° + 41,40962°)/2 =  65,70481°.
Угол А равен 90° -  65,70481° =  24,295189°.  
Синусы углов С и А равны соответственно  0,911438 и 0,4114378.
Тогда катеты равны:
АВ = 3/sin A = 3 / 0,4114378 = 7,2915026,
BC = 3/sin A = 3 / 0,911438  =  3,291503.
Искомая площадь равна:
 S = (1/2)АВ*ВС = (1/2)* 3,291503*7,2915026 = 12 кв.ед.