Question

Знайти кути прямокутного трикутника, якщо відомо, що висота, проведена до гіпотенузи, у 4 рази менша гіпотенузи.

Answer 1

Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и высотой АД. Примем АД = 1, а ВС = 4.
Обозначим ВД за х, а ДС за 4-х .
Угол АВД равен углу ДАС как взаимно перпендикулярные.
Приравняем тангенсы этих углов:
1/х =(4-х)/1.
Получаем квадратное уравнение х²-4х+1=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-4)^2-4*1*1=16-4=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√12-(-4))/(2*1) = (√12+4)/2=2√3/2+4/2 = 2+√3 ≈ 3.7320508;x₂=(-√12-(-4))/(2*1)=(-√12+4)/2=-2√3/2+4/2 = 2-√3 ≈ 0.2679492 этот корень равен 4-х, то есть это значение ДС.

Теперь находим углы В и С.
Угол В = arc tg(1/(2+√3)) = arc tg 0.267949 = 0.261799 радиан =15°.
Угол С = arc tg(1/(2-√3)) = arc tg  3.732051 = 1.308997 радиан = 75°.