В данном вопросе обращаемся к Трудовому кодексу.
Статья 63 ТК РФ.
"Заключение трудового договора допускается с лицами, достигшими возраста шестнадцати лет, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими федеральными законами."
То есть с 16 лет можно устроиться на работу уже без согласия родителей. Исключения в основном связаны с работой, на которой есть материальная ответственность (кассир, кладовщик и тп) или опасные-вредные условия труда.
Ключевой момент - рабочий день у несовершеннолетнего работника должен быть сокращенным.
Цитирую трудовой кодекс далее:
"Лица, получившие общее образование и достигшие возраста пятнадцати лет, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью. Лица, достигшие возраста пятнадцати лет и в соответствии с федеральным законом оставившие общеобразовательную организацию до получения основного общего образования или отчисленные из указанной организации и продолжающие получать общее образование в иной форме обучения, могут заключать трудовой договор для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда их здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы."
То есть и с 15 лет можно работать без согласия родителей, при условии, что подросток получил общее образование или не учится в общеобразовательном учреждении.
Цитирую далее:
"С письменного согласия одного из родителей (попечителя) и органа опеки и попечительства трудовой договор может быть заключен с лицом, получившим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью, либо с лицом, получающим общее образование и достигшим возраста четырнадцати лет, для выполнения в свободное от получения образования время легкого труда, не причиняющего вреда его здоровью и без ущерба для освоения образовательной программы.
То есть, с 14 лет можно работать с письменного согласия одного из родителей.
С 15 лет без согласия родителей при условии, что получено общее образование или ребенок не учится в общеобразовательном учреждении.
С 16 лет можно заключать трудовой договор без согласия родителей. Но как я понимаю, те же условия по образованию и учебе, что и для 15 лет.