Question

1.При каких действительных a множество пар действительных чисел (x;y) является линейным пространством при условии x−y−5=a?
2.При каких a множество функций f(x), определённых на отрезке [2;4] и таких, что f(3)=a−4, является линейным пространством
3.При каких a множество, заданное уравнениями x−2y=0,x−2y+1=5z−a, является линейным подпространством

Answer 1

Если не оговорено противное, операции рассматриваются наиболее естественные.

1. Сложение и умножение, естественно, предполагаются покоординатные. Тем самым наше множество является подмножеством линейного пространства R^2. Поэтому мы должны думать только о том, чтобы линейные операции не выводили из нашего множества.
M={(x;y}: x-y-5=a}={(y+5+a;y}, то есть первая координата должна быть на (5+a) больше второй. Однако, умножив такую пару на 0, мы получаем пару (0;0). Для нее равенство 0-0-5=a выполняется только если a= - 5. А тогда M={(y;y)}, что, естественно, является линейным подпространством в R^2 и⇒ само является линейным пространством
(сумма пар с равными координатами снова пара с равными координатами. То же самое с умножением на число.

2. Умножая функцию, лежащую в нашем множестве, на 0, получаем нулевую функцию, которая всюду (а значит и в точке 3) равна нулю. Значит должно выполняться условие a-4=0; a=4. Таким образом, теперь имеем функции, равные нулю в точке 3, а тогда их сумма и произведение на число снова равны 0 в точке 3.

3. Здесь M является подмножеством в R^3. Аналогично п.1, умножая любой элемент из M на 0, получаем нулевой набор. Он удовлетворяет данной системе уравнений, если 0-0=0 (выполнено) и 0-2·0+1=5·0-a, то есть a= - 1.  Система уравнений превращается при этом в линейную ОДНОРОДНУЮ систему 
x-2y=0; x-2y-5z=0, 
для которой множество решений конечно является линейным пространством.

Ответ: 1. a= - 5; a=4; a= - 1

Замечание. Необходимо каждый раз проверять, что множество непусто. В этих трех случаях непустота очевидна (в первом и третьем примерах там лежит нулевой набор, во втором - нулевая функция)