Question

Пусть an – остаток от деления (n+1)3 на n3. Найдите остаток при делении числа a1+a2+…+a3003 на 3000.

Answer 1

$\frac{(n+1)^3}{n^3}=a_{n}$ 
 заметим что $\frac{(n+1)^3}{n^3}=\frac{1}{n^3}+\frac{3}{n^2}+\frac{3}{n}+1$
 так как нам нужен остаток, то $\frac{1}{n^3}+\frac{3}{n^2}+\frac{3}{n}$ , он  равен      $\frac{3n^2+3n+1}{n^3}$ , решим неравенство 
 $3n^2+3n+1$ оно верно при $n \in [3;+\infty)$  это говорит о том что , можно найти остатки  при $n=1;2;3$ , а при остальных других только найти сумму  $a_{1}=0\\ a_{2}=3\\ a_{3}=10$ 
 $3n^2+3n+1$  это реккурентная сумма остатков при $n \in [4;3003]$ 
 $3*(4^2+5^2+.....3003^2)+3(4+5+6+...3003)+3003$ 
  как известно формула $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 
то есть $3(4^2+5^2+...+3003^2) =3( \frac{3003*3004*6007}{6}-14 )\\ 3(4+5+6+...+3003)=3*3007*1500\\ 3*(\frac{3003*3004*6007}{6}-14)+3*3007*1500+3003$ 
то есть $3003*3004*3005+3003 +13$ его остаток равен $76$