Ответ:
Тема 3. Уравнения и системы уравнений
Основными уравнениями школьной алгебры являются линейные и квадратные. Все остальные уравнения путём различных тождественных преобразований или путём соответствующей подстановки сводятся к ним.
Линейные уравнения
Линейные уравнения ах = b, где а ≠ 0; x=b/a.
Пример 1. Решите уравнение – х + 5,18 = 11,58.
Решение:
– х + 5,18 = 11,58;
– х = – 5,18 + 11,58;
– х = 6,4;
х = – 6,4.
Ответ: – 6,4.
Пример 2. Решите уравнение 3 – 5(х + 1) = 6 – 4х.
Решение:
3 – 5(х + 1) = 6 – 4х;
3 – 5х – 5 = 6 – 4х;
– 5х + 4х = 5 – 3+6;
– х = 8;
х = – 8.
Ответ: – 8.
Пример 3. Решите уравнение .
Решение:
. Домножим обе части равенства на 6. Получим уравнение, равносильное исходному.
2х + 3(х – 1) = 12; 2х + 3х – 3 =12; 5х = 12 + 3; 5х = 15; х = 3.
Ответ: 3.
Пример 4. Решите систему
Решение:
Из уравнения 3х – у = 2 найдём у = 3х – 2 и подставим в уравнение 2х + 3у = 5.
Получим: 2х + 9х – 6 = 5; 11х = 11; х = 1.
Следовательно, у = 3∙1 – 2; у = 1.
Ответ: (1; 1).
Замечание. Если неизвестные системы х и у, то ответ можно записать в виде координаты точки.
Квадратные уравнения
Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0.
D = b2 – 4ac;
;
нет решения при D < 0.
При решении квадратных уравнений полезно помнить формулу чётного коэффициента, т.е. случай, когда b = 2k или k =b/2:
.
х2 + px + q = 0 – приведённое квадратное уравнение. Для него справедлива теорема Виета:
где х1 и х2 – корни уравнения.
Пример 5. Решите уравнение 3у + у2 = у.
Решение:
3у + у2 = у – неполное квадратное уравнение; у2 + 3у – у = 0;
у2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.
Помните! Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, но второй при этом имеет смысл.
y1 = 0, или у + 2 = 0;
у2 = – 2.
Ответ: – 2; 0.
Пример 6. Решите уравнение 18 – х2 = 14.
Решение:
18 – х2 = 14 – неполное квадратное уравнение; – х2 = 14 – 18;
– х2 = – 4; х2 =4; х = ± 2.
Ответ: ± 2.
Пример 7. Решите уравнение х2 + 6х – 3 = 2х3.
Решение:
х2 + 6х – 3 = 2х3 – уравнение 3-ей степени. Оно решается разложением на множители: х2 – 2х3 + 6х – 3 = 0;
– х2(2х – 1 ) + 3(2х – 1) = 0;
(2х – 1)(3 – х2) = 0;
2х – 1 = 0 или 3 – х2 =0;
х1 = 0,5; х2,3 =.
Ответ: 0,5; .
Пример 8. Решите уравнение (х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0.
Решение:
(х2 – 5х)2 – 30 (х2 – 5х) – 216 = 0 – биквадратное уравнение. Такое уравнение решается методом подстановки.
Замечание. Метод подстановки позволяет перейти к уравнению, равносильному данному.
Пусть х2 – 5х = t. Тогда уравнение примет вид t2 – 30t – 216 = 0;
x2 – 5х = – 6 или х2 – 5х = 36;
х2 – 5х + 6 = 0 или х2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х1 = 2, х2 = 3, х3 = – 4, х4 =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.
Пример 9. Вычислить наибольший корень уравнения х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0.
Решение:
х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0 │: х2 (х ≠ 0)
t2 – 2 – 7t + 14 = 0;
t2 – 7t + 12 = 0;
t1 =3; t2 = 4.
х2 – 3х + 1 = 0 или х2 – 4х + 1 = 0;
D = 9 – 4 = 5, D = 16 – 4 = 12
x1 и х3 – меньшие корни. Остаётся сравнить х2 и х4.
– больший корень.
Ответ:.
Пример 10. Найти все целые решения системы уравнений
Решение:
Решаем уравнение 2(х + у)2 + (х + у) = 21.
Пусть х + у = t. Тогда получим 2t2 + t – 21 = 0; t1 =-7/2 ; t2 = 3.
x + у = -7/2 не удовлетворяет условию задачи, так как хотя бы одно из слагаемых в данной сумме будет нецелым числом.
x + у = 3 – удовлетворяет условию.
Решением системы будут (1; 2) или (2; 1).
Ответ: (1; 2), (2; 1).
Рациональные уравнения
Уравнение, содержащее неизвестную в знаменателе, называют рациональным.
При решении рационального уравнения необходимо исключать те значения неизвестного, при которых знаменатель обращается в нуль.
Пример 11. Решить уравнение
Решение:
Область определения уравнения х – 2 ≠ 0. В данном случае левую часть уравнения можно сократить на ( ).
По т. Виета х1 = 1, х2 = 3.
Ответ: 1; 3.
Пример 12. Решить уравнение
Решение:
Ответ: 2.
Пример 13. Решить уравнение
Решение:
Так как x2+5 быть равным нулю не может, то данное уравнение будет равносильно уравнению 3(x2+5)2-23(x2+5)-8=0, которое решается методом подстановки. Пусть x2+5=t .
Имеем 3t2-23t-8=0; t1=-1/3; t2=8.
x2+5≠-1/3. Остаётся x2+5=8; x2=3; x=.
Ответ: .
Пример 14. Решить систему
Решение:
Полученное решение системы удовлетворяет области определения.
Ответ: х = 2; у = 4.
Пошаговое объяснение:
Не знаю
