Question

(81x^2-64)(49-x^2)(7x^2+3)>0 (4x-7)(x-9)<0 найдите множество решений неравенства

Answer 1

$(81x^{2} -64)(49-x^{2})(7x^{2}+3)>0$

7x² + 3 > 0 при любых значениях x , разделим обе части неравенства на это положительное число и знак неравенства при этом не изменится.

Получим :

(81x² - 64)(49 - x²) > 0

(81x² - 64)(x² - 49) < 0

(9x - 8)(9x + 8)(x - 7)(x + 7) < 0

$9*9(x-\frac{8}{9})(x+\frac{8}{9})(x-7)(x+7)<0\\\\(x-\frac{8}{9})(x+\frac{8}{9})(x-7)(x+7)<0$

    +                  -                   +                    -                   +

_______₀_________₀__________₀_______₀__________

             - 7                - 8/9                 8/9            7

x ∈ (- 7 ; - 8/9) ∪ (8/9 ; 7)

$2)(4x-7)(x-9)<0\\\\4(x-\frac{7}{4})(x-9)<0\\\\(x-1,75)(x-9)<0$

        +                         -                      +

__________₀___________₀___________

                   1,75                    9

x ∈ (1,75 ; 9)

Answer 2

Метод интервалов.

$2)\; \; (4x-7)(x-9)<0\\\\4x-7=0\; ,\; \; x_1=\frac{7}{4}\; ,\\\\x-9=0\; \; ,\; \; x_2=9\\\\znaki\; (4x-7)(x-9):\; \; +++(\frac{7}{4})---(9)+++\\\\x\in (\frac{7}{4},9)\\\\1)\; \; (81x^2-64)(49-x^2)(7x^2+3)>0\\\\(9x-8)(9x+8)(\underline {7-x})(7+x)(7x^2+3)>0\\\\(9x-8)(9x+8)(\underline {x-7})(x+7)(\underbrace {7x^2+3}_{>0})<0\\\\znaki:\; \; +++(-7)---(-8/9)+++(8/9)---(7)+++\\\\x\in (-7,-\frac{8}{9})\cup (\frac{8}{9},7)$