1)215+76=291(подростки ) записано в библиотеке
2)291+215=506 (людей) записано в библиотеке
3)615-506=109(детей )
Ответ 109 детей было записано в библиотеке
11+х-0,96=0,8*3,2+3,2х
2,2х=11-0,96-2,56
2,2х=7,48
х=3,4
Чуть накосячили с LaTeXом.
![\int\limits^5_3 { \frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E5_3%20%7B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%5B4%5D%7B%20x%5E2-9%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20)
Найдем соответствующий неопределенный интеграл:
![J(x) = \int\frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=J%28x%29%20%3D%20%5Cint%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%5B4%5D%7B%20x%5E2-9%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx)
Сделаем замену
![x = 3cht](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%3D%203cht)
, тогда
![\sqrt[4]{x^2-9} = \sqrt[4]{9ch^2t-9} = \sqrt[4]{9sh^2t} = \sqrt{3sht} \\ dx = 3sht](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%5E2-9%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%5B4%5D%7B9ch%5E2t-9%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%5B4%5D%7B9sh%5E2t%7D%20%3D%20%20%5Csqrt%7B3sht%7D%20%5C%5C%20dx%20%3D%203sht)
.
Подставим в интеграл:
![J(x) = \int\frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx = \int{ \frac{9shtcht}{ \sqrt{3sht}} } \, dt = 3\sqrt{3}\int{cht\sqrt{sht}} \, dt = 3\sqrt{3}\int{\sqrt{sht}} \,d(sht) =](https://tex.z-dn.net/?f=J%28x%29%20%3D%20%5Cint%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%5B4%5D%7B%20x%5E2-9%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B9shtcht%7D%7B%20%5Csqrt%7B3sht%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%20%3D%203%5Csqrt%7B3%7D%5Cint%7Bcht%5Csqrt%7Bsht%7D%7D%20%5C%2C%20dt%20%3D%203%5Csqrt%7B3%7D%5Cint%7B%5Csqrt%7Bsht%7D%7D%20%5C%2Cd%28sht%29%20%3D%20)
![3 \sqrt{3} \frac{sh^ \frac{3}{2} t}{ \frac{3}{2} } = 2\sqrt{3}(ch^2t-1)^\frac{3}{4}+C](https://tex.z-dn.net/?f=3%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%5Cfrac%7Bsh%5E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20t%7D%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%202%5Csqrt%7B3%7D%28ch%5E2t-1%29%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%2BC)
.
Делаем обратную замену:
![J(x) = 2\sqrt{3}( \frac{x^2}{9} -1)^\frac{3}{4}+C = \frac{2\sqrt{3}( x^2 -9)^\frac{3}{4}}{9^\frac{3}{4}} + C= \frac{2\sqrt{3}( x^2 -9)^\frac{3}{4}}{3\sqrt{3}} + C =](https://tex.z-dn.net/?f=J%28x%29%20%3D%202%5Csqrt%7B3%7D%28%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B9%7D%20-1%29%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%2BC%20%3D%20%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%28%20x%5E2%20-9%29%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7B9%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%20%2B%20C%3D%20%20%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%28%20x%5E2%20-9%29%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%2B%20C%20%3D%20)
![\frac{2}{3} (x^2-9)^ \frac{3}{4} + C](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%28x%5E2-9%29%5E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%2B%20C)
.
Возьмем значение произвольной постоянной
![C = 0](https://tex.z-dn.net/?f=C%20%3D%200)
.
Наконец, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
![\int\limits^5_3 { \frac{x}{ \sqrt[4]{ x^2-9}} } \, dx = J(5) - J(3) = \frac{2}{3} * 16^ \frac{3}{4} = \frac{16}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%5E5_3%20%7B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20%5Csqrt%5B4%5D%7B%20x%5E2-9%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20J%285%29%20-%20J%283%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%2A%2016%5E%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20)
.
2sin(x/4)*cos(x/4)=sin(x/2)
cos x = 1 -2sin^2(x/2)
Подставляем
1 - 2sin^2(x/2) - sin(x/2) = 0
2sin^2(x/2) + sin(x/2) - 1 = 0
Квадратное ур. относительно sin(x/2).
(sin(x/2)+1)*(2sin(x/2)-1) = 0
1) sin(x/2) = -1; x/2 = -Π/2+2Π*k; x = -Π+4Π*k
2) sin(x/2) = 1/2; x/2 = Π/6+2Π*n; x/2 = 5Π/6+2Π*n
x = Π/3+4Π*n; x = 5Π/3+4Π*n
В промежуток [-3Π; -Π] попадают корни:
x1=-Π; x2=5Π/3-4Π=-7Π/3
x3=Π/3-4Π=-11Π/3<-3Π - не подходит.
Ответ: -Π; -7Π/3