Question

Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень = 10 - x

Answer 1

$x^{3} = 10 - x \\\ \left \{ {{y=x^3} \atop {y=10-x}} \right.$
Если одна из двух функций монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, то эти функции либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются вообще.
у=x^3 - монотонно возрастающая функция
у=10-х - монотонно убывающая функция
Значит, их графики пересекаются максимум в одной точке.

Решать можно как угодно, например схемой Горнера, перебирая делители свободного члена, находим, что х=2 - корень. (можно это заметить и без схемы Горнера подбором)
Ответ: 2

Answer 2

Функция $f(x)=x^3$ строго возростающая
Функция $g(x)=10-x$ строго убывающая
Поэтому данное уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.
Так как при х=2 получаем равенство $2^3=8; 10-2=8; 8=8$
то х=2 -решение, и других корней нет
ответ: 2