"Звёзды", а точнее, метеориты падают не только в августе, но и в другие месяцы тоже. Время их падения и интенсивность зависят от того, сквозь какой метеорный поток проходит в данный момент Земля.
Таких потоков много - Леониды (в ноябре), Аквариды (май), Ориониды (май и октябрь), Урсиды (декабрь) и другие. Августовский метеорный поток называется Персеиды.
Названия свои метеорные потоки получают в зависимости от того созвездия, откуда визуально они кажутся вылетающими. Урсиды - из Малой Медведицы (Ursa на латыни - медведица), Леониды - из созвездия Льва, Персеиды - из созвездия Персея и т.д. Поправлю автора лучшего ответа: никакие звёзды на самом деле из созвездия Персея не падают, это просто так кажется наблюдателю с Земли.
Персеиды, наверное, самый известный метеорный поток. Во-первых, потому, что Земля проходит через него ежегодно, в отличие от некоторых других, у которых периодичность в несколько лет, во-вторых, он отличается интенсивностью и продолжительностью (более месяца). Кроме того, в августе обычно небо чистое, нет туч и облаков, что благоприятствует наблюдению. Потому, наверное, и существует мнение, что "звёзды" падают только в августе.