Question

Если укладывать по 10 плиток в ряд, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 8 плиток в ряд остается один не полный ряд, а при укладке по 9 — тоже остается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Answer 1

Обозначим за N оставшееся число плиток. Из условия следует, что N<100 (так как квадрат 10 на 10 плиток собрать нельзя). Кроме того, число N дает остаток k при делении на 9 и остаток k+6 при делении на 8. При этом k>0 (поскольку остается один неполный ряд) и k+6<8 (остаток от деления строго меньше делителя). Отсюда следует, что 0<k<2 и k=1. Таким образом, нужно найти число N, меньшее 100, которое дает остаток 1 при делении на 9 и остаток 7 при делении на 8. Переберем все числа, меньшие 100, дающие остаток 1 при делении на 9. Нетрудно видеть, что среди чисел 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91 только число 55 дает остаток 7 при делении на 8. Значит, после строительства осталось 55 плиток.

Ответ: 55 плиток.